Zawartość

• Instrukcje
• Jak
• Uwaga

Definicja epsilon-delta jest demonstracją, której uczniowie uczą się w pierwszym roku zajęć z rachunku różniczkowego. Ta definicja jest klasycznym sposobem pokazania, że ​​funkcja zbliża się do określonego progu, ponieważ zmienna niezależna zbliża się do określonej wartości. Epsilon i delta to odpowiednio czwarta i piąta litera alfabetu greckiego. Litery te są tradycyjnie używane w procesie obliczania granic i są również wykorzystywane w procesach demonstracyjnych.

Instrukcje

Definicja epsilon-delta służy do rozwiązywania pytań granicznych. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Należy zacząć od pracy z formalną definicją limitu. Definicja ta stwierdza, że ​​„granicą f (x) jest L, gdy x zbliża się do k, jeżeli dla każdego epsilon większego od zera istnieje odpowiednia delta, większa od zera, taka, że ​​kiedy absolutna różnicy między x i k jest mniejsza niż delta, wartość bezwzględna różnicy między f (x) i L będzie mniejsza niż epsilon. "Nieformalnie oznacza to, że limit f (x) wynosi L, gdy x zbliża się do k, jeśli możliwe jest uczynienie f (x) tak blisko L, jak to pożądane, zbliżając się do x do k. Aby wykonać demonstrację epsilon-delta, należy wykazać, że możliwe jest zdefiniowanie delty w kategoriach epsilon dla danej funkcji i granicy.

2. Manipuluj stwierdzeniem „| f (x) - L | jest mniejsze niż epsilon”, dopóki nie otrzymasz | x - k | mniej niż pewna wartość. Uważajcie tę „pewną wartość” za deltę. Zapamiętaj formalną definicję i centralną ideę, która stwierdza, że ​​konieczne jest wykazanie, że dla każdego epsilon istnieje delta, ustanawiając między nimi relację, która sprawia, że ​​definicja jest prawdziwa. Z tego powodu konieczne jest zdefiniowanie delty w kategoriach epsilon.

   
   

3. Zwróć uwagę na kilka poniższych przykładów, aby wziąć pod uwagę sposób postępowania z definicją. Na przykład, aby udowodnić, że granica 3x-1 wynosi 2, gdy x zbliża się do 1, rozważamy k = 1, L = 2 i f (x) = 3x-1. Aby mieć pewność, że | f (x) - L | jest mniejsza niż epsilon, do | (3x - 1) - 2 | niższy niż epsilon. Oznacza to, że | 3x - 3 | jest mniejsza niż epsilon, więc 3 | x - 1 | jest także lub || x - 1 | jest mniejsza niż epsilon / 3. Zatem biorąc pod uwagę, że delta = epsilon / 3, | f (x) - L | będzie mniejsza niż epsilon, gdy | x - k | jest mniejsza niż delta.

Jak

• Centralną częścią dowodu jest przekształcenie f (x) - L w x - k. Jeśli utrzymasz ten cel na uwadze, reszta demonstracji odbędzie się idealnie.

Uwaga

• W niektórych sytuacjach granica funkcji może wskazywać, że f (x) dąży do nieskończoności, ilekroć x dąży do nieskończoności. Definicja epsilon-delta nie działa w tych przypadkach; w takich sytuacjach podobną demonstrację można wykonać, wybierając dwie duże liczby, M i N, i pokazując, że f (x) może przekroczyć M, powodując, że x przekroczy N, a M może być tak duży, jak to konieczne.