Zawartość

• Instrukcje
• Pisanie całki
• Rozwiązywanie całki
• Czego potrzebujesz

Ogólne podejście do obliczania przy określaniu objętości obiektów o zakrzywionych powierzchniach opiera się na głównej teorii integracji. W istocie, trójwymiarowy obiekt jest podzielony na bardzo małe wycinki, a objętość każdej z tych warstw jest uzyskiwana przy użyciu prostszej formy. Aby znaleźć objętość kulistego kapelusza, najprostszym sformułowaniem jest wyobrazić sobie stos dużych, krótkich cylindrów jeden na drugim. Objętość oblicza się przyjmując, że wysokość każdego z tych cylindrów zmierza do zera, generując coraz dokładniejsze przybliżenia.

Instrukcje

Sklepione dachy wielu budynków są przybliżeniami kulistych powłok (Hemera Technologies / AbleStock.com / Getty Images)

Pisanie całki

1. Określ średnicę lub promień swojej kulistej nakładki w jej najszerszym miejscu.

2. Określ wysokość czapki.

3. Podnieś liczby w krokach 1 i 2 i usuń je. Podziel tę liczbę przez dwukrotność liczby znalezionej w kroku 2. Daje to R, promień kuli, z której wycięto czapkę.

4. Wpisz „V =”, a następnie symbol integracji.

5. Odejmij liczbę znalezioną w kroku 2 R i zapisz tę wartość w podstawie symbolu integracji.

6. Wpisz wartość R w górnej części symbolu integracji.

7. Po znaku integracji wpisz pi, a następnie nawiasy.

8. Podnieś wartość R do kwadratu i zapisz ją w nawiasach, a następnie znak minus.

   
   

9. Wpisz „x ^ 2” po symbolu odejmowania. Po nawiasach uzupełnij całkę za pomocą „dx”.

Rozwiązywanie całki

1. Pomnóż pi przez wartości w nawiasach, co spowoduje, że pi * x ^ 2 zostanie odjęte od stałej.

2. Oblicz pierwszy człon całki przez pomnożenie stałej przez wysokość sferycznego kołpaka (R - a, dwie granice całki) i przenieś ją z całki. Równanie powinno teraz mieć postać „V = C (R a) - [całka zdefiniowana od a do R] pi * x ^ 2 dx”, gdzie C jest kwadratem R razy pi, a a jest R minus a wysokość kulistej nasadki.

3. Pozostała część całki daje 1/3pi(R3) - 1/3pi(a ^ 3). Tak więc ostateczny wzór na objętość kulistego kapelusza wynosi V = C (R - a) - 1/3pi(R3) + 1/3pi(a3) z C i opisane w kroku 2 i R opisane w kroku 3 poprzedniej sekcji.

4. Zastąpienie R minus wysokość powłoki (h) przez a, obliczenie kostek i uproszczenie obliczeń spowoduje, że V = 1/3pi(3R-h), standardowy wzór algebraiczny na objętość kulistego kapelusza.

   
   

Czego potrzebujesz

• Ołówek
• Papier
• Kalkulator (opcjonalnie)